Exercícios de Progressões

Parte superior do formulário

• Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...):
• 21849
• 20845
• 21845
• 22845
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
  

Temos como condição inicial a PG (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...), ou seja, (1, 4, 16, 64, ...) que se obtem calculando-se as potências e o número de termos n = 8.

E o que se quer é a soma desses termos.

Portanto, para solucionar a questão será necessário, inicialmente, determinar a razão q, e em seguida, aplicar a fórmula da soma de uma PG finita para n = 8. 

A razão q é facilmente obtida dividindo-se o segunto termo pelo primeiro como decorrência da definição de uma PG:

q = a_2/a₁ = 4/1 = 4

Logo, da fórmula da soma, substituindo-se a₁ = 1, n = 8 e q = 4, vem que:

s₈ = 1.(4⁸- 1)/(4 -1) = (65536 - 1)/3 = 65535/3 = 21845

• Quantos termos tem a P.A (4, 7, 10, …, 157)
• 53
• 52
• 60
• 55
• 58
• 
  

Condições iniciais:

• A PA (4, 7, 10, …, 157);
• O primeiro termo a₁ = 4;
• O último termo a_n = 157.

E o que se quer determinar é o valor de n - a quantidade de termos da PA.

Para tanto é suficiente calcular a razão r e utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r

Pela definição de PA a razão é obtida subtraindo-se qualquer termo, a partir do segundo, pelo seu antecessor. Assim:

r = 7 - 4 = 3

Logo, da fórmula e das condições iniciais vem:

a_n = a₁ + (n – 1)r  => 157 = 4 + (n - 1)3 => 157 = 4 + 3n - 3 => 157 = 1 + 3n

=> 157 - 1 = 3n => 3n = 156 => n = 156/3 => n = 52

• Qual é o 10° termo da PG (20,10,5…):
• 5/128
• 5/256
• 5/512
• 5/64
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
  

Dados do problema: n = 10 e a PG (20, 10, 5, ...).

E o que se quer determinar é o valor de a₁₀ - o décimo termo da PG.

Assim, nada mais natural do que usar a fórmula do termo geral de uma PG para solucionar a questão:

a_n = a₁.q^n-1

Observe que temos das condições iniciais a₁ = 20 e n = 10, restando, portanto, a se obter a razão q.

Mas, para isso, basta utilizar a definição de uma PG, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q. Logo, por exemplo:

a₂ = a₁.q => q = a₂/a₁ = 10/20 = 1/2

E, finalmente, substituindo-se os valores na fórmula geral:

a_n = a₁.q^n-1 => a₁₀ = 20.(1/2)^10-1 = 20.(1/2)⁹ = 20.(1/512) = 20/512 = 5/128

• Determine o valor da razão de uma PA sabendo-se que:

a₁ + a₃ + a₅ = 21

a₂ + a₄ + a₆ = 42

• -7
• 8
• 9
• 7
• -9
• 
  

Como nos exercícios anteriores, mais uma vez, faremos uso do termo geral de uma PA para aplicarmos nas equações dadas na questão e transformá-las em um sistema de equações em função de a₁ e r. Assim sendo:

a₃ = a₁ + (3 - 1)r => a₃ = a₁ + 2r

a₅ = a₁ + (5 - 1)r => a₅ = a₁ + 4r

a₂ = a₁ + (2 - 1)r => a₂ = a₁ + r

a₄ = a₁ + (4 - 1)r => a₄ = a₁ + 3r

a₆ = a₁ + (6 - 1)r => a₆ = a₁ + 5r

Substituindo esses valores nas equações dadas:

a₁ + a₃ + a₅ = 21 => a₁ + a₁ + 2r + a₁ + 4r = 21 => 3a₁ + 6r = 21    [1]

a₂ + a₄ + a₆ = 42 => a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 42 => 3a₁ + 9r = 42   [2]

De [1] isolando o valor de a₁:

3a₁ = 21 - 6r => a₁ = (21 - 6r)/3   [3]

Substituindo o valor de a₁ obtido em [3] na equação [2]:

3a₁ + 9r = 42 => 3[(21 - 6r)/3] + 9r = 42 => 21 - 6r + 9r = 42 => 3r = 21 => r = 21/3 = 7

• Sabendo-se que (x, x+9, x+45), x diferente de zero, formam uma PG, determine o valor de x:
• 5
• 4
• 3
• 2
• 1
• 
  

Utilizando a definição de PG, em que a₁ = x, a₂ = x + 9 e a₃ = x + 45 temos:

a₂ = a₁.q => x + 9 = x.q   [1]

a₃ = a₂.q => x + 45 = (x + 9)q   [2]

Isolando o valor de q em [1]:

q = (x + 9)/x

Substituindo q em [2]

x + 45 = (x + 9)[(x + 9)/x] => x(x + 45) = (x+ 9)²

=> x² + 45x = x² + 18x + 81 => x² + 45x - x² - 18x = 81 => 27x = 81 => x = 81/27 = 3

O décimo termo da PA (a, 3a/2, …) é igual a:

• 11a/2
• 9a/2
• 7a/2
• 13a/2
• 15a/2
• 
  

Condições iniciais: PA (a, 3a/2, ...), onde a₁ = a e a₂ = 3a/2.

O que se quer determinar é obtido da fórmula do termo geral de uma PA:

a₁₀ = a₁ + (10 -1)r = a + 9r    [1]

Restando, portanto, para concluir a solução do exercício determinar o valor de r. Isto é feito a partir da definição de uma PA:

a₂ = a₁ + r => 3a/2 = a + r => r = (3a/2) - a = (3a - 2a)/2 = a/2 

Substituindo em [1] vem:

a₁₀ = a + 9(a/2) = (2a + 9a)/2 = 11a/2

A soma dos três primeiros termos de uma PG é igual a 39 e o produto entre eles é 729. Calcule os três numeros:

• 3, 9 e 27
• 4, 8 e 16
• 5, 10, 20
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
  

Condições iniciais da questão:

a₁ + a₂ + a₃ = 39

a₁.a₂.a₃ = 729

Para calcular os três termos da PG é suficiente determinar a razão q e o primeiro termo a₁. A partir da fórmula do termo geral da PG obtemos para as duas equações acima:

a₁ + a₁q + a₁q² = 39 => a₁ + a₁q +a₁q.q = 39  [1]

a₁.a₁q.a₁q² = 729 => a₁³q³ = 729 = 3⁶ => (a₁q)³ = 3⁶ => a₁q = 3² = 9   [2]

Substituindo o valor de a₁q em [1]:

a₁ + 9 + 9q = 39 => a₁ = 39 - 9 - 9q = 30 - 9q

E, agora, substituindo o valor de a₁ em [2]:

(30 - 9q)q = 9 => 30q - 9q² = 9 => 9q² -30q + 9 = 0

Calculando as raízes da equação do segundo grau obtemos q₁ = 3 e q₂ = 1/3, e de [2] vem que:

a₁ = 9/3 = 3 para q = 3 => PG (3. 9, 27)

a₁ = 9/(1/3) = 27 para q = 1/3 => PG (27, 9, 3)

E, portanto, os três termos das PG's são 3, 9 e 27. Observe que as PG's satisfazem as condições iniciais com relação a soma e ao produto.

Observe que a fatoração de 729 = 3⁶ = 3.3².3³ e que desse fato poderíamos concluir a resposta.

Calcule a soma dos numeros inteiros positivos inferiores a 501 e que não sejam divisíveis por 7:

• 106358
• 120655
• 156897
• 129654
• 107358
• 

Condições inciais: PA (1,2,3,...,500) de razão igual 1 e que na soma de seus termos deve ser subtraída a soma dos termos múltiplos de 7 (7, 14, 21, ..., b_n), que formam outra PA de razão 7 cujo primeiro termo é b₁ = 7.

Para determinar b_n, o último termo da segunda PA, observe que a divisão de 500 por 7 tem resto 3 e desse fato concluímos que b_n = 500 - 3 = 497, ou seja, o maior múltiplo de 7 menor que 500. Resta ainda calcular o número de termos dessa PA, necessário, como veremos, para calcular a soma da PA, o qual  é obtido pelo uso da fórmula do termo geral:

b_n = b₁ + (n - 1)r => 497 = 7 + (n - 1).7 => 497 = 7 + 7n - 7 => n = 497/7 = 71

Agora, vamos calcular a soma conforme solicitado na questão. Para isso deveremos calcular a soma dos números inteiros positivos inferiores a 500 (S₁) e subtrair da soma da PA composta dos múltiplos de 7 (S₂).

Primeiro calculemos S_{1 usando a fórmula da soma de uma PA}:

S₁ = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 500)500]/2 = 125250

e, em seguida, calcular S2:

S₂ = [(b₁ + b_n)n]/2 = [(7 + 497)71]/2 = (504.71)/2 = 17892

para finalmente obtermos o resultado pedido:

S = S₁ - S₂ = 125250 - 17892 = 107358

Encontre a razão positiva em que os termos de uma PG satisfaça as igualdades a₁ + a₄ = 27 e a₃ + a₆ = 108:

• 3
• 4
• 5
• 6
• 2
• 

Condições iniciais: q > 0 e

a₁ + a₄ = 27   [1]

a₃ + a₆ = 108  [2]

Para se obter a razão q vamos, primeiramente, reescrever as equações [1] e [2] utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:

[1] => a₁ + a₁q³ = 27 => a₁(1 + q³) = 27 => 1 + q³ = 27/a₁

[2] => a₁q² + a₁q⁵ = 108 => a₁q²(1 + q³) = 108 => 1 + q³ = 108/a₁q²

Igualando os resultados, vem que:

27/a₁ = 108/a₁q² => 27a₁q² = 108a₁ => 27q² = 108 => q² = 108/27 = 4

e, portanto:

q = ±2

Como a razão solicitada é maior que 0, concluí-se que q = 2.

• Determine a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93:
• (3, 6, 9, 12, ..., 93)
• (9, 12, 15, 18, ..., 93)
• (6, 9, 12, 15, ..., 93)
• Nenhuma das respostas anteriores
•